Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中點，求證：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A₁BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC₁、B₁C，先證AP⊥B₁C，根據B₁C∥MN，從而證得AP⊥MN．
（2）欲證平面MNP∥平面A₁BD，先證線面平行，連接B₁D₁，根據面面平行的判定定理可知，先證PN∥平面A₁BD，MN∥平面A₁BD，即可．
解答：證明：（1）連接BC₁、B₁C，則B₁C⊥BC₁，BC₁是AP在面BB₁C₁C上的射影．∴AP⊥B₁C．
又B₁C∥MN，∴AP⊥MN．
（2）連接B₁D₁，∵P、N分別是D₁C₁、B₁C₁的中點，
∴PN∥B₁D₁．又B₁D₁∥BD，
∴PN∥BD．又PN不在平面A₁BD上，
∴PN∥平面A₁BD．
同理，MN∥平面A₁BD．又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A₁BD．
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．