Question

定義在區間[0，a]上的函數f（x）的圖象如右下圖所示，記以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））為頂點的三角形面積為S（x），則函數S（x）的導函數S'（x）的圖象大致是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先分析出函數S（x）的表達式為S△ABC=

1

2

×AB×h，其中AB為定值，h為點C到AB的距離，再利用h在區間[0，a]上的變化情況，得出函數S（x）的增減變化，即可得到其導函數S′（x）的圖象．

解答：解：如圖，連接AB，BC，AC
設點C到AB的距離為h，則△ABC的面積S△ABC=

1

2

×AB×h，其中AB為定值
當點C沿著曲線從A運動到B，h是連續變化，這樣S（x）也是連續變化，所以面積函數S（x）肯定在[0，a]上可導，且其導數是連續的．從而排除B和D；
當x∈（0，m]時，點C從點A出發，距離h越來越大，故S（x）遞增，所以S'（x）＞0；
當x∈（m，n]時，距離h越來越小，故S（x）遞減，所以S'（x）＜0；
當x∈（n，e]時，距離h越來越大，故S（x）遞增，所以S'（x）＞0；
當x∈（e，a]時，距離h越來越小，故S（x）遞減，所以S'（x）＜0．
故選C

點評：本題主要考查導函數與原函數單調性之間的關系．