Question

定義在區間[0，a]上的函數f（x）的圖象如圖所示，記以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））為頂點的三角形的面積為S（x），則函數S（x）的導函數S′（x）的圖象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先分析出函數S（x）的表達式為|AB|•h，其中h為點C到直線AB的距離且|AB|為定值，再利用h在區間[0，a]上的變化情況，得出函數S（x）的增減變化，即可得到其導函數S′（x）的圖象．
解答：解：連接AB，BC，CA，以AB為底，C到AB的距離為高h．讓C從A運動到B，明顯h是一個平滑的變化，這樣S（x）也是平滑的變化．
因為函數S（x）=|AB|•h，其中h為點C到直線AB的距離．|AB|為定值．
當點C在（0，x₁]時，h越來越大，s也越來越大，即原函數遞增，故導函數為正；
當點C在[x₁，x₂）時，h越來越小，s也越來越小，即原函數遞減，故導函數為負；變化率的絕對值由小邊大；
當點C在（x₂，x₃]時，h越來越大，s也越來越大，即原函數遞增，故導函數為正；變化率由大變小；
當點C在[x₃，a）時，h越來越小，s也越來越小，即原函數遞減，故導函數為負．
故選 D．
點評：本題主要考查導函數與原函數單調性之間的關系．它們之間的關系是，原函數遞增，導函數為正；原函數遞減，導函數為負．