Question

如圖所示，某建筑物內有一個直角型過道，兩過道的寬均為2米，問長為6米的鐵棒能否通過該直角型過道？請說明理由．

Answer 1

分析：長度為6米的鐵棒能否通過該直角過道，關鍵看函數l（θ）的值域，先研究其單調性，求出函數的最小值，然后與6進行比較即可．

解答：解：根據圖得：l（θ）=BP+AP=

2

sinθ

+

2

cosθ

，θ∈（0，

π

2

），鐵棒不能水平通過該直角過道，
理由如下：l′（θ）=（

2

sinθ

）′+（

2

cosθ

）′
=

2(sin2θ-cos2θ)

sin2θcos2θ

．
令l'（θ）=0得，θ=

π

4

．
當0＜θ＜

π

4

時，l'（θ）＜0，l（θ）為減函數；
當

π

4

＜θ＜

π

2

時，l'（θ）＞0，l（θ）為增函數；
所以當θ=

π

4

時，l（θ）有最小值4

2

，
因為4

2

＜6，所以長為6米的鐵棒不能水平通過該直角過道．

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，還考查了三角函數的定義，導數法求函數最值等，同時考查了計算能力，屬于中檔題．