Question

定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x
（1）若x∈[-4，-2]時，求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-4，-2]時，f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，結合已知當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x可求f（x+4），由f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），代入可求f（x）
（2）由x∈[-4，-2]時，f(x)=

1

9

(x2+6x+8)=

(x+3)2-1

9

，結合而成函數的性質可求f（x）的最小值，而由f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，可得f（x）_min≥

3 t -t

18

，解不等式可求t的范圍

解答：解：（1）設x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，
∵當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
又∵f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）=x²+6x+8
∴f(x)=

1

9

(x2+6x+8)
（2）∵x∈[-4，-2]時，f(x)=

1

9

(x2+6x+8)=

(x+3)2-1

9

當x=-2時，f（x）_min=f（-3）=-

1

9

則由f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，可得-

1

9

≥

3 t -t

18

整理可得，

(t-3)(t+1)

t

≥0
∴-1≤t＜0或t≥3

點評：本題主要考查了利用已知抽象函數的關系求解函數的解系式，解題的關鍵是由已知推出f（x+4）=9f（x），而函數的恒成立問題往往轉化為函數的最值的求解，屬于中檔試題