Question

【題目】已知函數f（x）= ， g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），給出下列結論：
①函數f（x）的值域為[0，]；
②函數g（x）在[0，1]上是增函數；
③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在區間[0，1]內恒有解；
④若x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數a的取值范圍是：≤a≤ ．
其中所有正確結論的序號為

Answer 1

【答案】①②④
【解析】當x≥1時，函數f（x）==
1≤x≤3時，f′（x）≥0，x≥3時，f′（x）≤0，故當x=3時，f（x）取極大值 ， 故此時f（x）∈[0，]，
當x≤1時，函數f（x）=
﹣1≤x≤1時，f′（x）≤0，x≤﹣1時，f′（x）≥0，故當x=﹣1時，f（x）取極大值 ， 故此時f（x）∈[0，]，
綜上可得：函數f（x）的值域為[0，]；故①正確；
當x∈[0，1]時，x+π∈[π，]，此時函數g（x）為增函數，故②正確；
x∈[0，1]時，f（x）= ， 故f（x）為減函數，
由f（0）= ， f（1）=0，可得f（x）∈[0，]，
而g（0）=﹣3a+2，g（1）=-a+2，故g（x）∈[﹣3a+2，-a+2]，
當-a+2≥0，即a≤時，方程f（x）=g（x）有解，
當-a+2＜，即a＞時，方程f（x）=g（x）無解，故③錯誤；
若x1∈R，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，
則-a+2≥0，且﹣3a+2≤；
解得：≤a≤ ． 故④正確；
所以答案是：①②④，
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．