Question

【題目】已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當a＞0時，若f（x）的最小值為1，求a的值；
（3）設g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[ ， ]有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），證明：g（x1）﹣g（x2）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=1 時，f′（x）==
∴當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0．
∴f（x）在x=2時取得極小值且為最小值，其最小值為 f（2）=﹣2ln2
（Ⅱ）∵f′（x）=x﹣+（a﹣2）==
∴（1）當﹣2＜a≤0時，若x∈（0，﹣a）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（﹣a，2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
（2）當a=﹣2時，x∈（0，+∞）時，f（x）為增函數；
（3）當a＜﹣2時，x∈（0，2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（2，﹣a）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（﹣a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數
（Ⅲ）證明：假設存在實數a使得對任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立，
不妨設0＜x1＜x2 ， 只要 ＞a，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1
令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數
又函數g（x）=x2﹣2alnx﹣2x．
考查函數g′（x）=x﹣﹣2）==
要使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即a≤﹣，
故存在實數a∈（﹣∞，﹣]時，對任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立
【解析】（Ⅰ）求出函數f（x）的定義域，當a=1 時，求出f′（x），判斷函數的單調性，求解函數的最小值即可．
（Ⅱ）化簡求解f′（x）= ， 通過（1）當﹣2＜a≤0時，（2）當a=﹣2時，（3）當a＜﹣2時，分別求解函數的單調性即可．
（Ⅲ）假設存在實數a使得對任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立，轉化方程為f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1構造g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數，利用導數求解函數的最小值，導函數的符號，判斷證明即可。
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．