Question

已知函數f(x)=

a-3x

的反函數為y=f^-1（x）
（1）求函數f（x）的反函數f^-1（x）的解析式；
（2）若y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，求實數a的取值范圍；
（3）判斷方程f（x）=f^-1（x）的實根的個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把原函數兩邊平方后解出x，然后把x和y互換，注意反函數的定義域；
（2）作出函數y=f（x）的圖象，然后數形結合分析可得答案；
（3）作出函數y=f（x）與其反函數y=f^-1（x）的圖象，由圖可以直觀看出方程f（x）=f^-1（x）的實根的個數．

解答：解：（1）由y=

a-3x

，得：x=

a-y2

3

（y≥0），所以原函數的反函數為f-1(x)=

a-x2

3

(x≥0)；
（2）由y=f(x)=

a-3x

，得：y2=-3x+a=-3(x-

a

3

)  (y≥0)，
其圖象是把函數y²=-3x（y≥0）的圖象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|

a

3

|個單位得到的，如圖，

要使y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，則a≥0；
（3）因為互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，如圖，

當a＜0時，函數y=f（x）與其反函數的圖象無交點，所以方程f（x）=f^-1（x）無實根；當a≥0時，函數y=f（x）與其反函數的圖象僅有一個交點，所以方程f（x）=f^-1（x）有一個實根．

點評：本題考查了反函數，考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了數形結合的解題思想，互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，此題為中檔題．