Question

已知異面直線a與b成80°的角，p為空間一定點，則過點p與a，b所成的角都是50°的直線有且僅有（　�。�

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

Answer 1

分析：在空間取一點P，經過點P分別作a∥a'，b∥b'，設直線a'、b'確定平面α．由異面直線所成角的定義，得a'、b'所成銳角等于80°，經過P的直線PM的射影P在a'、b'所成銳角的平分線上時，存在兩條直線與a'，b'所成的角都是50°，當PM的射影PQ在a'、b'所成鈍角的平分線上時，存在1條直線與a'，b'所成的角都是50°，由此可得本題答案．

解答：解：在空間取一點P，經過點P分別作a∥a'，b∥b'，
設直線a'、b'確定平面α，
當直線PM滿足它的射影PQ在a'、b'所成角的平分線上時，
PM與a'所成的角等于PM與b'所成的角
因為直線a，b所成的角為80°，得a'、b'所成銳角等于80°
所以當PM的射影PQ在a'、b'所成銳角的平分線上時，
PM與a'、b'所成角的范圍是[40°，90°）．
這種情況下，過點P有兩條直線與a'，b'所成的角都是50°
當PM的射影PQ在a'、b'所成鈍角的平分線上時，PM與a'、b'所成角的范圍是[50°，90°）．
這種情況下，過點P有且只有一條直線（即PM?α時）與a'，b'所成的角都是50°
綜上所述，過空間任意一點P可作與a，b所成的角都是50°的直線有3條
故選：C

點評：本題給出兩條直線所成角為80°，求過空間一點P可作與a，b所成的角都是50°的直線的條數．著重考查了空間兩條異面直線所成角及其求法等知識，屬于基礎題．