Question

設籃球隊A與B進行比賽，若有一隊先勝4場則宣告比賽結束，假定A、B在每場比賽中獲勝的概率都為0.5．試求需要比賽場數的平均值．

Answer 1

分析：由題意知比賽場數ξ的可能取值是4、5、6、7，若4場結束，只有兩種情況；若5場結束，且A勝出，則A負2場，A所負一場不可能是第5場，只可能是前4場中某一場，共有4種情況；若B勝出，亦有4種情況．若6場結束，且A勝出，則A負2場，共有10種情況；若7場結束，且A勝出，則A負3場，共有20種情況，列出分布列，得到期望．

解答：解：由題意知比賽場數ξ的可能取值是4、5、6、7
若4場結束，只有兩種情況：A四場連勝或連負，每種情況發生的概率是(

1

2

)4
∴總概率為

1

8

；
若5場結束，且A勝出，則A只負1場，A所負一場不可能是第5場，只可能是前4場中某一場，共有4種情況；
同樣，若B勝出，亦有4種情況．
每種情況發生的概率是(

1

2

)5，總概率為

1

4

；
若6場結束，且A勝出，則A負2場，共有10種情況，
若B勝出，亦有10種情況．
每種情況發生的概率是(

1

2

)6總概率為

5

16

；
若7場結束，且A勝出，則A負3場，共有20種情況，
若B勝出，亦有20種情況．
每種情況發生的概率是(

1

2

)7，總概率為

5

16

．
∴比賽場次的數學期望=4×

1

8

+5×

1

4

 +6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

即Eξ=

93

16

≈6場．

點評：本題考查獨立重復試驗，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題． 能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關概率的計算．