Question

已知球O的表面積為16π，且球心O在60°的二面角α-l-β內部，若平面α與球相切于M點，平面β與球相截，且截面圓O₁的半徑為

3

，P為圓O₁的圓周上任意一點，則M、P兩點的球面距離的最值為

2π

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，如圖．欲求、P兩點的球面距離的最大值，根據圖形右知，當點P在圓O₁的圓周上最上方（圖中位置）時，M、P兩點的球面距離的最大，再結合∠MAP為60°的二面角α-l-β的平面角及四邊形MAO₁O，得到∠MOO₁，利用在直角三角形POO₁中，求得∠O₁OP=60°，從而得出圓滿心角∠MOP=180°=π，最后利用球面距離公式即可求得M、P兩點的球面距離的最大值．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖．
當點P在圓O₁的圓周上最上方（圖中位置）時，M、P兩點的球面距離的最大，
且其中∠MAP為60°的二面角α-l-β的平面角，∠MAP=60°，
∵OM⊥MA，OO₁⊥AP，∴∠MOO₁=120°，
又球O的表面積為16π，∴OP=2，
在直角三角形POO₁中，OP=2，O₁P=

3

，∴∠O₁OP=60°
∴∠MOP=180°=π，
則M、P兩點的球面距離的最大值為2×π=2π．
故答案為：2π

點評：本小題主要考查球面距離及相關計算、球的性質、二面角等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．