Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．
（1）求證：

a2+c2

b2

=

sin2A+sin2C

sin2B

；
（2）已知b=3，c=1，A=2B，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理得：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，代入等式的左邊化簡即可；
（2）由題意和正弦定理求出cosB，利用余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB，把已知的數據代入化簡求出a的值．

解答： 證明：（1）由正弦定理得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R是△ABC外接圓的半徑），
則a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，
所以

a2+c2

b2

=

4R2sin2A+4R2sin2C

4R2sin2B

=

sin2A+sin2C

sin2B

；
即原等式成立；
解：（2）因為b=3，A=2B，所以

a

sinA

=

b

sinB

，
則

a

sin2B

=

3

sinB

，化簡得cosB=

a

6

，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2ac•cosB，
則9=a²+1-2a×

a

6

，即a²=12，解得a=2

3

．

點評：本題考查正弦、余弦定理的綜合運用：化簡、證明、求值，屬于中檔題．