Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得四邊形ABFD為正方形，O為AF，BD的交點，PO⊥BD，由此能證明PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角二面角B-PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設F為DC的中點，連接BF，則DF=AB．
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四邊形ABFD為正方形．
∵O為BD的中點，
∴O為AF，BD的交點，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，
∵BD=

AD2+AB2

=2

2

，
∴PO=

PB2-BO2

=

2

，AO=

1

2

BD=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，
∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，
又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，
以它們做x，y軸，以OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），
D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），P（0，0，

2

），

PC

=(1，3，-

2

)，

PD

=(1，-1，-

2

)，

PB

=(-1，1，-

2

)，
設平面PDC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PC =x+3y- 2 z=0 n • PD =x-y- 2 z=0

，令z=1，
則平面PDC的一個法向量為

n

=(

2

，0，1)，
設平面PBC的法向量為

m

=(a，b，c)，
則

m • PC =a+3b- 2 c=0 m • PB =-a+b- 2 c=0

，
取c=

2

，得

m

=（0，1，

2

），
設二面角B-PC-D的大小為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

2

3 × 3

|=

2

3

．
∴二面角B-PC-D的大小為arccos

2

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．