Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足a²+c²-b²=ac．
（1）求B；
（2）若2bcosA=

3

(ccosA+acosC)，BC邊上的中線AM的長為

13

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，將已知等式代入計算求出cosB的值，由B為三角形內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）利用正弦定理化簡已知等式，再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據sinB不為0求出cosA的值，由A為三角形內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而確定出C為直角，設|BC|=m，則|AC|=

3

m，|AB|=2m，|CM|=

1

2

m，利用勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解得到|CA|與|CB|的長，利用三角形面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
由B為三角形內角，得到B=

π

3

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡已知等式得：2sinBcosA=

3

（sinCcosA+sinAcosC），
即2sinBcosA=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，
∵A為三角形內角，
∴A=

π

6

，
∴C=

π

2

，
設|BC|=m，則|AC|=

3

m，|AB|=2m，|CM|=

1

2

m，
根據勾股定理得：（

1

2

m）²+（

3

m）²=（2m）²，
解得：m=2，
則S_△ABC=

1

2

|CA|•|CB|=2

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．