Question

（14分）已知定義在上的函數滿足：

，且對于任意實數，總有成立．

（1）求的值，并證明函數為偶函數；

（2）若數列滿足，求證：數列為等比數列；

（3）若對于任意非零實數，總有．設有理數滿足，判斷和 的大小關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（1），函數為偶函數

（2）略

（3）略

【解析】（1）令，，又，．…2分

令，，即．

對任意的實數總成立， 為偶函數． 4分

（2）令，得 ，，．

．…………………………………………………………5分

令，得，………………………………………………………………6分

          ………………………………………………8分

是以為首項，以為公比的等比數列．

（3）結論：．………………………………………………………………9分

證明：設，∵時，，

∴，即．……………………………………………………10分

∴令（），故，總有成立．

∴．………………………………………………………………………………………………11分

∴對于，總有成立．

即

當時，

在上單調遞增。………………………………………………………………12分

當…………………………………………………………13分

函數為偶函數，∴．∴．……14分