Question

（本小題滿分12分）

在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切．

（I）求圓的方程；

（II）圓與軸相交于兩點，圓內的動點使成等比數列，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）;（II）

【解析】（Ⅰ）設圓O的半徑為r，由圓心為原點（0，0），根據已知直線與圓O相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離d，即為圓的半徑r，由圓心和半徑寫出圓O的標準方程即可.

（II）設．設，由成等比數列，得

，即    ．

然后可得，再根據點P在圓O內得到y的取值范圍，從而轉化為函數問題來解決.

解：（I）依題設，圓的半徑等于原點到直線的距離，

即  ．得圓的方程為．         …………（4分）

（II）不妨設．由，得．

設，由成等比數列，得

，即    ．   …………（8分）

由于點在圓內，故

由此得．所以的取值范圍為．       …………（12分）