Question

已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為的直線過點.

（1）求該橢圓的方程；

（2）設橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關于直線對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的方程，可利用待定系數法求出的值即可，首先確定拋物線的焦點與準線方程為，利用橢圓焦點與拋物線的焦點重合，得，且截拋物線的準線所得弦長為，得交點為，建立方程，求出的值，即可求得橢圓的方程；（2）根據傾斜角為的直線過點，可得直線的方程，由（1）知橢圓的另一個焦點為，利用與關于直線對稱，利用對稱，可求得的坐標，由此可得結論．

試題解析：（1）拋物線的焦點為，準線方程為，

∴ ① 2分

又橢圓截拋物線的準線所得弦長為，

∴ 得上交點為，∴ ② 4分

由①代入②得，解得或（舍去），

從而

∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為 6分

（2）∵ 傾斜角為的直線過點，

∴ 直線的方程為，即， 7分

由（1）知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，則得 ， 9分

解得，即， 2分

又滿足，故點在拋物線上。所以拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱。 13分

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程；拋物線的簡單性質．