Question

已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，直線y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，△AF₁F₂的面積為，點(diǎn)P（x，y）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定b的值，再利用△AF₁F₂的面積為，及a²=b²+c²，可確定橢圓C的方程；
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，則，由此可求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設(shè)A（x，x）（x＞0），則，②
∵△AF₁F₂的面積為，∴，③
由①，②，③及a²=b²+c²，解得a=，
∴橢圓C的方程：
（2）∠F₁PF₂為銳角，則
，
∵，
，
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．