Question

已知函數．
（Ⅰ）證明：F（x）+F（1-x）=3，并求；
（Ⅱ）．已知等差數列{a_n}與{b_n}的前n項和分別為S_n與T_n，且．當m＞n時，比較與的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，已知a₁=2，數列{b_n}的公差為d=2．探究在數列{a_n}與{b_n}中是否有相等的項，若有，求出這些相等項由小到大排列后得到的數列{c_n}的通項公式；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）關于f（x）+f（1-x）=3的證明，只需代入解析式驗證即可．求值時，我們利用f（x）+f（1-x）=3即和為1的兩個自變量對應的函數值的和為3，再看共有多少對即可，
（Ⅱ）考查等差數列前n項和與第n項的關系．由等差數列第n項的比等于前2n-1項和的比可得，然后在比較大小．
（Ⅲ）假若存在數列{a_n}中的第n項與數列{b_n}中的第k項相等，即，進一步分析可得n不是整數，即可得結論．
解答：解：（Ⅰ）因為（2分）
所以設S=；（1）
S=（2）
（1）+（2）得：
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因為
所以．（7分）
所以；
所以當m＞n≥1時，

=
=，∴（10分）

（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，當a₁=2，d=2時

所以{-2+2b₁=-1

d₁=3
所以（12分）
假若存在數列{a_n}中的第n項與數列{b_n}中的第k項相等，
即
因為4k-1為奇數，6為偶數，所以不是整數，
所以在數列{a_n}與{b_n}中沒有相等的項．（14分）
點評：第一問：主要查清幾對即可．
第二問：兩個等差數列前n項的比值與前2n-1項和的比值相等這一規律最好記住，在解決填空與選擇題時可以加快速度．
第三問：要注意通項相等和第n項相等的區別．