Question

已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期
（2）當x∈[0，

π

6

]時，求函數的最小值；
（3）求函數的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）首先整理函數的式子，進行三角函數式的恒等變換，先相乘，再用二倍角公式進行降冪，再利用輔角公式寫出最簡結果，用周期公式做出周期．
（2）先求出求出2x-

π

4

的范圍，進而得到sin（2x-

π

4

）的范圍，從而得到函數f（x）的 范圍，從而求得函數f（x）的最小值．
（3）根據正弦曲線的遞增區間，寫出使得函數的角在這一個區間上，解出其中的x的值，求出函數的單調區間．

解答：解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

））
∴最小正周期為π
（2）∵x∈[0，

π

6

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

12

]
∴當2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，f（x）min=-

2

2

．
（3）根據正弦曲線的遞增區間知當2x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
即x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]
∴函數的遞增區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈z）．

點評：本題考查三角函數的變換和三角函數的性質，這是一個非常適合作為高考題目的題，這種題目注意三角恒等變換時不要出錯，不然后面的運算都會出錯．