Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=2x-x²．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）是否存在實數(shù)a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域為[

1

b

，

1

a

]，若存在，求出實數(shù)a，b的值； 若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知x＞0時，f（x）=2x-x²．求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求當(dāng)x＜0時的解析式，可求哪設(shè)哪；
（2）利用函數(shù)的解析式，進行分類討論，借助于函數(shù)的單調(diào)性與最值可求．

解答：解：（1）由題意，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)：f（x）=-f（-x）
當(dāng)x＜0時，-x＞0，所以當(dāng)x＜0時的解析式為：f（x）=-f（-x）=2x+x²
∵f（0）=0
∴f(x)=

2x-x2，x＞0. 2x+x2，x≤0.

（2）由

b＞a 1 a ＞ 1 b

⇒ab＞0．
若a＞0，b＞0．
情形一 a＜1＜b：f（x）=2x-x²的最大值為1．得a=1（舍）．
情形二 a＜b＜1：f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上單調(diào)增，又

1

a

＞1（不符）
情形三 1≤a＜b：[a，b]上單調(diào)減得

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

⇒

a=1 b= 1+ 5 2

（符合）
若a＜0，b＜0，同理可得a=

-1- 5

2

，b=-1

點評：本題以函數(shù)奇偶性為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的性質(zhì)，有一定的綜合性．