Question

【題目】設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.

（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經過點，證明：點在直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意離心率以及可以建立關于，，的方程組，求得，，的值即可求解；（2）設，根據題意將，用含的代數式表示，消去參數后即可得到，所滿足的關系式，從而得證．

試題解析：（1）設，由題意，得，且，得，，，

∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當時，，即點，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經過點，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點，且在第一象限內，∴，，，由①②，解得，，∴，即點在直線上．