Question

已知p：關于x的不等式

∫

x 0

(2t-1)dt-m＞0對任意的x∈[1，2]恒成立；q：f（x）=

x2，x≥0 x-1，x＜0

，且不等式f（m²）＞f（m+2）恒成立，若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,定積分

專題：簡易邏輯

分析：通過求定積分由p得，x²-x-m＞0對任意的x∈[1，2]恒成立，從而能得到m＜0；由函數f（x）解析式，能夠判斷該函數在R上為增函數，所以由q得，m²＞m+2，解得m＞2，或m＜-1，而根據p∨q為真，p∧q為假得到p真q假，或p假q真兩種情況，求出每種情況下m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由∫0x(2t-1)dt-m＞0對任意x∈[1，2]恒成立；
得x²-x-m＞0在x∈[1，2]上恒成立；
又函數y=x²-x-m=(x-

1

2

)2-

1

4

-m在[1，2]上是增函數；
∴其最小值為-m，因此只要-m＞0即可，所以m＜0；
即p：m＜0；
因為y=x²在[0，+∞）上是增函數，∴y=x²≥0；
y=x-1在（-∞，0）上也是增函數，∴y=x-1＜-1；
∴f（x）在R上是增函數，由f（m²）＞f（m+2）可得m²＞m+2；
解得m＞2，或m＜-1；
若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假；
∴

m＜0 -1≤m≤2

，或

m≥0 m＞2，或m＜-1

；
∴-1≤m＜0，或m＞2；
∴實數m的取值范圍為[-1，0）∪（2，+∞）．

點評：考查定積分的計算，二次函數的單調性，一次函數的單調性，以及分段函數單調性的判斷方法，p∨q．p∧q真假和p，q真假的關系．