Question

設1＜a≤b≤c，證明：log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

考點：換底公式的應用

專題：函數的性質及應用

分析：令x=log_ab，y=log_bc．由于1＜a≤b≤c，可得x≥1，y≥1，xy≥1．而log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac?x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy．通過作差、通分即可證明．

解答：證明：令x=log_ab，y=log_bc．
∵1＜a≤b≤c，∴x≥1，y≥1，xy≥1．
則log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac?x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy．
右邊-左邊=

1

x

+

1

y

+xy-x-y-

1

xy

=

(x-1)(y-1)(xy-1)

xy

≥0．
∴右邊≥左邊．
故原式成立．

點評：本題考查了對數的換底公式、對數的性質、作差法比較兩個數的大小，屬于中檔題．