Question

若F_l、F₂為雙曲線C：=1的左、右焦點，O為坐標原點，點P及N(2,)均在雙曲線c上，M在C的右準線上，且滿足

(1)求雙曲線C的離心率及其方程；

(2)設雙曲線C的虛軸端點為B₁、B2(B₁在y軸的正半軸上)，點A、B在雙曲線上，且當=0時，求直線AB的方程．

Answer 1

解:(1)∵

∴四邊形OF₁PM為菱形．

設F₁(-c，0)，則|PF₁|=|PM|=c

由雙曲線第一定義，得|PF₂|=2a+c

由雙曲線第二定義，得=e,即=e

整理，得e²-e-2=0  解得e=2(e=-1舍去)

此時C的方程為=1，將N(2，)代入得，a²=3

∴雙曲線方程為=1

(2)依題意B₁(0，3)，B₂(0，-3)

∵

∴ A、B、B₂三點共線，設其方程為y=kx-3．

由  得(3-k²)x²+6kx-18=0．(*)，

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

∵k≠±  ∴x₁+x₂= ，x₁x₂= 

y₁+y₂=k(x₁+x₂)-6=，

y_ly₂=k²x₁x₂-3k(x₁+x₂)+9=9

∵=0   ∴(x_l，y₁-3)·(x₂，y₂-3)=0

∴x₁x₂+y₁y₂-3(y₁+y₂)+9=0

∴+9-3·+9=0，解得k=±

此時方程(*)中，△＞0．故所求直線方程為y=±x-3