Question

點P是以F_l、F₂為左、右焦點的雙曲線E：=1(a＞0，b＞0)上的一點，已知=0，,O為坐標原點．

(Ⅰ)求雙曲線的離心率e；

(Ⅱ)過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P₁、P₂兩點，且=-，2=0，求雙曲線E的方程；

(Ⅲ)設直線l：y=kx+1(k∈R)與(Ⅱ)中的雙曲線E交于A、B兩點，若總存在實數λ，使=λ+(1-λ) ，求k．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，

∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a

∵PF₁⊥PF₂，∴(4a)²+(2a)²=(2c)²，

∴e=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線的方程可設為=1，漸近線方程為了y=±2x

設P₁(x₁，2x₁)，P₂(x₂，-2x₂)，P(x，y)

∵=-3x₁x₂=,  ∴x₁x₂=，

∵2,∴

∵點P在雙曲線上，∴=1，

化簡得x₁x₂=，

∴=,∴a²=2，

∴雙曲線的方程為=1 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知雙曲線的方程為：=1，

∴F₂(，0)，

又∵,∴

即：A、F₂、B三點共線，

故直線l過F₂，有k+1=0，

∴k=