Question

設函數f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1）．
（1）若f（x）的最小值為3，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由|x-4|+|x-a|≥|a-4|結合題意可得|a-4|=3，由此求得a的值．
（2）分當x≤4時、當4＜x＜7時、當x≥7時，分別去掉絕對值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）因為|x-4|+|x-a|≥|x-4-（x-a）|=|a-4|，…（3分）
所以|a-4|=3，即 a=7，或 a=1．    …（5分）
由a＞1知 a=7．…（6分）
（2）當x≤4時，不等式化為-2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）
當4＜x＜7時，不等式化為  3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）
當x≥7時，不等式化為  2x-11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）
綜上，不等式f（x）≤5 的解集為 {x|3≤x≤8}．     …（10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．