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已知定義域為R的函數f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)證明:函數f(x)在R上是減函數.
分析:(I)利用奇函數的性質f(0)=0即可得出;
(II)利用減函數的定義即可證明.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)是奇函數,且定義域為R,
∴f(0)=0,∴
a-1
2
=0
,解得a=1.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知f(x)=
1-2x
1+2x
=-1+
2
2x+1

令x1<x2,則0<2x12x22x2-2x1>0
f(x1)-f(x2)=
2
2x1+1
-
2
2x2+1
=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1)
>0,
即f(x1)>f(x2),
∴函數f(x)在R上為減函數.
點評:本題考查了函數的單調性和奇偶性,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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已知定義域為R的函數f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數在定義域R上的單調性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍;
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