Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的大小；
（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
所以異面直線PB與CD所成的角是.
（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為.
設QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在點Q滿足題意，此時.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，
由(Ⅱ)知
設平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).
則所以即，
取x₀=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).
設由，得解y=-或y=(舍去)，
此時，所以存在點Q滿足題意，此時.

解析