Question

（2012•江蘇）設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間[-1，1]上，f（x）=

ax+1，-1≤x＜0       bx+2 x+1 ，0≤x≤1

其中a，b∈R．若f(

1

2

)=f(

3

2

)，則a+3b的值為

-10

．

Answer 1

分析：由于f（x）是定義在R上且周期為2的函數，由f（x）的表達式可得f（

3

2

）=f（-

1

2

）=1-a=f（

1

2

）=

b+4

3

；再由f（-1）=f（1）得2a+b=0，解關于a，b的方程組可得到a，b的值，從而得到答案．

解答：解：∵f（x）是定義在R上且周期為2的函數，f（x）=

ax+1，-1≤x＜0       bx+2 x+1 ，0≤x≤1

，
∴f（

3

2

）=f（-

1

2

）=1-

1

2

a，f（

1

2

）=

b+4

3

；又f(

1

2

)=f(

3

2

)，
∴1-

1

2

a=

b+4

3

①
又f（-1）=f（1），
∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=-4；
∴a+3b=-10．
故答案為：-10．

點評：本題考查函數的周期性，考查分段函數的解析式的求法，著重考查方程組思想，得到a，b的方程組并求得a，b的值是關鍵，屬于中檔題．