Question

已知函數f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函數
（1）求實數b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）當x∈（0，+∞）時，求函數y=f（x）+

a

f(x)

的值域．

Answer 1

分析：（1）因為函數f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函數，利用函數的定義域為R時，奇函數在0處有定義則f（0）=0即可解的b的值；
（2）由題意利用函數的單調性的定義加以判斷；
（3）由題意先求出函數y=f（x）+

a

f(x)

的解析式，利用“對勾”函數的單調性求出定義域下的函數值域．

解答：解：（1）∵定義域為R，
∴f（0）=0，∴b=-

1

2

；

（2）是單調遞增函數．
∵定義域為R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(

1

ax1+1

-

1

2

)-(

1

ax2+1

-

1

2

)=

ax2-ax1

(ax1+1)(ax2+1)

∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴

ax2-ax1

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=

1

ax+1

-

1

2

，（0＜a＜1）是單調遞增函數

（3）y=g（t）=t+

a

t

，t∈(0，

1

2

)
當

0＜a＜1 a ≥ 1 2

?

1

4

≤a＜1時，y=g（t）在t∈(0，

1

2

)單調遞減，
值域：(2a+

1

2

，+∞)
當

0＜a＜1 a ＜ 1 2

?0＜a＜

1

4

時，y=g（t）=t+

a

t

≥2

a

，
當且僅當t=

a

∈(0，

1

2

)時，y_min=2

a

，
值域：[2

a

，+∞)．

點評：此題考查了奇函數的性質，函數的單調性的定義，還考查了“對勾”函數的單調性及已知函數的定義域求解函數的值域．