Question

已知某品牌汽車的市場需求量y₁（萬輛），市場供應量y₂（萬輛），與市場價格x（萬元∕輛）之間分別近似地滿足下列的關系：y₁=10-2log₂（4x-32）和y₂=2x-12；當y₁=y₂時的市場價格稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量．
（1）求平衡價格和平衡需求量；
（2）科學研究表明，汽車尾氣的排放不但污染環境，加速全球變暖，而且過多的私家車增加了城市交通的壓力，加大了能源的消耗；某政府為倡導低碳型生活方式，決定對該品牌汽車的銷售征收附加稅，每售出一輛該產品的汽車征收2萬元的附加稅，試求新的市場平衡價格和平衡需求量．

Answer 1

解：（1）當y₁=y₂時，有10-2log₂（4x-32）=2x-12，
即9-x=log₂（x-8），令x-8=t（t＞0），
則方程9-x=log₂（x-8）化為1-t=log₂t，解得t=1．
則x-8=1，所以x=9（萬元∕輛）．
此時y₁=y₂=2×9-12=6（萬輛）．
答：平衡價格為9萬元∕輛，平衡需求量為6萬輛．
（2）設每售出一輛該產品的汽車征收2萬元的附加稅時新的市場平衡價格為x（萬元∕輛）．
所以市場需求量y₁=10-2log₂（4x-32），市場供應量y₂=2（x-2）-12．
由10-2log₂（4x-32）=2（x-2）-12，得11-x=log₂（x-8）．
令x-8=s，則方程11-x=log₂（x-8）化為3-s=log₂s，解得s=2．
則x-8=2，所以x=10（萬元∕輛）．
此時的市場平衡需求量為y₁=y₂=2×（10-2）-12=4（萬輛）．
答：當每售出一輛該產品的汽車征收2萬元的附加稅時，新的市場平衡價格為10萬元∕輛，平衡需求量為4萬輛．
分析：（1）根據當y₁=y₂時的市場價格稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量，可求平衡價格和平衡需求量；
（2）根據市場平衡價格的定義建立方程，可得結論．
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，正確理解定義是關鍵．