Question

某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加．已知年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．
（Ⅰ）若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加
的比例x應在什么范圍內？
（Ⅱ）年銷售量關于x的函數為y=3240(-x2+2x+

5

3

)，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，要使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？首先表示出本年度的年利潤，根據原題中已知的年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量可表示出來．然后列出不等式得到x的取值范圍．
（Ⅱ）根據題意，要使本年度的年利潤最大，首先表示出本年度年利潤的函數表達式，然后求出此函數的導數為零時x的值，并且考慮導數大于零和小于零時函數的增減性可知此時的x值對應的函數值是函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：本年度每輛車的投入成本為10×（1+x）；
出廠價為13×（1+0.7x）；年銷售量為5000×（1+0.4x），
因此本年度的利潤為
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x²+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x²+1500x+15000＞15000得0＜x＜

5

6

（Ⅱ）本年度的利潤為f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x²+2x+

5

3

）=3240×（0.9x³-4.8x²+4.5x+5）
則f′（x）=3240×（2.7x²-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由f′(x)=0，解得x=

5

9

或x=3，
當x∈(0，

5

9

)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數；當x∈(

5

9

，1)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數．
∴當x=

5

9

時，f(x)取極大值f(

5

9

)=20000萬元，
因為f（x）在（0，1）上只有一個極大值，所以它是最大值，
所以當x=

5

9

時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．

點評：此題考查學生用數學解決實際問題的能力，以及運用導數求閉區間上的最值的解題思想．