Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且滿足a²+b²=ab+4，．
（1）時，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積；
（2）求△ABC的面積等于的一個充要條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對sinC+sin（B-A）=2sin2A化簡整理求得sinB=2sinA進而根據正弦定理求得b=2a，與題設等式聯立求得a和b，最后利用三角形面積公式求得答案．
（2）先看當△ABC的面積等于，利用三角形面積公式求得ab的值，與題設等式聯立求得a和b，推斷出△ABC為正三角形求得c；同時看當，△ABC是邊長為2的正三角形可求得三角形面積為，進而看推斷出△ABC的面積等于的一個充要條件．
解答：解：（1）由題意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
由cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a
聯立方程組解得，．
所以△ABC的面積
（2）若△ABC的面積等于，則，得ab=4．
聯立方程組解得a=2，b=2，即A=B，又，
故此時△ABC為正三角形，故c=2，即當三角形面積為時，△ABC是邊長為2的正三角形
反之若△ABC是邊長為2的正三角形，則其面積為
故△ABC的面積等于的一個充要條件是：△ABC是邊長為2的正三角形．
點評：本題主要考查了解三角形問題，正弦定理的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．