Question

（2013•宜賓二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC=4，D、E、F分別為PA、PC、BC的中點，BE=3，平面PBC⊥平面ABC，BE⊥DF．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）求直線AB與平面PAF所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質，證明AF⊥平面PBC，再利用線面垂直的判定定理，證明BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）設BE∩PF=H，連AH，由（Ⅰ）可知AH為AB在平面PAF上的射影，證明∠HAB為直線AB與平面PAF所成的角，進而可求直線AB與平面PAF所成的角．

解答：（Ⅰ）證明：連結AF，
∵AB=AC，F為BC的中點，
∴AF⊥BC，…（1分）
又平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC=BC，
∴AF⊥平面PBC．…（2分）
又∵BE?平面PBC，
∴AF⊥BE．…（5分）
又∵BE⊥DF，DF∩AF=F，
∴BE⊥平面PAF．…（5分）
（Ⅱ）解：設BE∩PF=H，連AH，由（Ⅰ）可知AH為AB在平面PAF上的射影，
∴∠HAB為直線AB與平面PAF所成的角．…（  7分）
∵E、F分別為PC、BC的中點，
∴H為△PBC的重心，又BE=3，
∴BH=

2

3

×3=2…（  9 分）
在Rt△ABH中，sin∠BAH=

BH

AB

=

2

4

=

1

2

…（  10 分）
∴AB與平面PAF所成的角為30°．…（12分）

點評：本題考查面面垂直的性質，考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．