Question

設函數f（x）=px²+qx-是奇函數，其中p，q是常數，且q≠0．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x²-1）的單調減區間；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，]上的最大值與最小值．（用q表示）

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x）即
即px²-qx-=-（px²+qx-）得2px²=0對任意x≠0恒成立
∴p=0                              …
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=qx-（q≠0）的定義域為{x|x≠0}
∵f（x）=q+
∴當q＜0時，f′（x）＜0恒成立，f（x）在定義域內是減函數
又∵x²-1≠0時，x≠±1，
t=x²-1在（0，1），（1，+∞）上遞增，在（-∞，-1），（-1，0）上遞減
∴當q＜0時，f（x²-1）的單調減區間為（0，1）和（1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
當q＜0時，函數f（x）在定義域內是減函數
當q＞0時，函數f（x）在定義域內是增函數
∵u=sinx+cosx=sin（x+），x∈[0，]
則u∈[1，]
當q＜0時，函數f（x）的最大值為f（1）=0，最小值為f（）=q
當q＞0時，函數f（x）的最大值為f（）=q，最小值為f（1）=0
分析：（I）由f（x）為奇函數，故f（-x）=-f（x），代入后根據多項式相等的充要條件，可得p的值；
（Ⅱ）由（I）可得f（x）的解析式，利用導數法分析出函數的單調性后，進而可由復合函數單調性得到f（x²-1）的單調減區間
（III）由（II）可得當q＜0時，函數f（x）在定義域內是減函數，當q＞0時，函數f（x）在定義域內是增函數，結合sinx+cosx在x∈[0，]上的值域為[1，]，代入可得函數的最值．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，兩角和與差的正弦函數，函數的最值，復合函數的單調性，函數奇偶性的性質，是函數圖象和性質比較綜合的應用，屬于難題．