Question

設函數f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，（其中e=2.1828…是自然對數的底數）．
（1）求p與q的關系；
（2）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（3）設，若在[1，e]上存在實數x，使得f（x）＞g（x）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，將其移項通分就可以看出來了；
（2）首先求出函數的導數f′（x），因為f（x）在其定義域內為單調函數，說明導數恒大于或小于0，從而求出p的取值范圍；
（3）先假設存在，因為設，若在[1，e]上存在實數x，使得f（x）＞g（x），在區間[1，e]上分別求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后討論求解．
解答：解：（1）∵f（e）=pe--2，
∴（p-q）e=，∴p-q=0，
∴p=q；
（2）f′（x）=p+-≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
；
（3）∵在[1，e]上是減函數
∴x=e時，g（x）_min=2；
x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0時，由（2）知f（x）在[1，e]遞減⇒f_max（x）=f（1）=0＜2，不合題意

∴
③p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，

．
點評：此題主要考查對數函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數形結合的思想、分類與整合思想，化歸與轉化思想、有限與無限的思想來解決問題．