Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于兩點A，B，O為坐標(biāo)原點，若△OAB為直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率和（2，0）點代入橢圓方程進(jìn)而可求得a和c，進(jìn)而求得b，方程可得．
（2）把直線與橢圓聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0，進(jìn)而可求得m的范圍．設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），當(dāng)∠AOB為直角時，根據(jù)

OA

•

OB

=0，、求得m；當(dāng)∠OAB或∠OBA為直角時，不妨設(shè)∠OAB為直角，由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，可得x₁和y₁的關(guān)系進(jìn)而求得x₁和m．

解答：解：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1，
所以a=2，c=

3

，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；．
（Ⅱ）聯(lián)立

x2 4 +y2=1  y=x+m

，
消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．
設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）當(dāng)∠AOB為直角時，
則x1+x2=-

8

5

m ， x1x2=

4m2-4

5

，
因為∠AOB為直角，所以

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
所以

8m2-8

5

-

8

5

m2+m2=0，解得m=±

2

5

10

．
（ⅱ）當(dāng)∠OAB或∠OBA為直角時，不妨設(shè)∠OAB為直角，
由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，
所以

y1

x1

=-1，即y₁=-x₁，
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=1；，
所以

5

4

x

2 1

=1；，x1=±

2

5

5

，m=y1-x1=-2x1=±

4

5

5

，
經(jīng)檢驗，所求m值均符合題意，綜上，m的值為±

2

5

10

和±

4

5

5

．

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．