Question

（2012•洛陽模擬）在平面直角坐標系中xOy中，O為坐標原點，A（-2，0），B（2，0），點P為動點，且直線AP與直線BP的斜率之積為-

3

4

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點D（1，0）的直線l交軌跡C于不同的兩點M，N，△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出△MON的面積的最大值及相應的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P點坐標為（x，y）根據直線AP與直線BP的斜率之積為-

3

4

，代入斜率公式，整理可得動點P的軌跡C的方程；
（2）設出交點M，N的坐標及直線l的方程為x=ny+1，聯立方程根據韋達定理求出y₁+y₂，y₁•y₂的值，根據弦長公式求出MN長，求出△MON的面積的表達式，分析出對應函數的單調性，可得答案．

解答：解：設P點的坐標為（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直線AP與直線BP的斜率之積為-

3

4

．
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

（x≠±2）
整理得P點的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）
（2）設直線l的方程為x=ny+1
聯立方程x=ny+1與

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）得
（3n²+4）y²+6ny-9=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=

-6n

3n2+4

，y₁•y₂=

-9

3n2+4

△MON的面積S=

1

2

•|OD|•|y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1•y2

=

6 n2+1

3n2+4

=

6 n2+1

3(n2+1)+1

=

6

3 n2+1 + 1 n2+1

令t=

n2+1

，則t≥1，且y=3t+

1

t

在[1，+∞）是單調遞增
∴當t=1時，y=3t+

1

t

取最小值4
此時S取最大值

3

2

此時直線的方程為x=1

點評：本題考查的知識點是軌跡方程，直線與圓錐曲線的關系，熟練掌握設而不求，聯立方程，韋達定理，弦長公式等一系列處理直線與圓錐曲線關系的方法和技巧是解答的關鍵．