Question

已知α∈(0，

π

2

)，且cos2α=

4

5

．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）若β∈(

π

2

，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．

Answer 1

（1）由cos2α=

4

5

，得1-2sin2α=

4

5

，
所以sin2α=

1

10

，又α∈(0，

π

2

)，
所以sinα=

10

10

．
因?yàn)閏os²α=1-sin²α，
所以cos2α=1-

1

10

=

9

10

，
又α∈(0，

π

2

)，
所以cosα=

3 10

10

，
所以sinα+cosα=

10

10

+

3 10

10

=

2 10

5

．
（2）因?yàn)?span mathtag="math" >α∈(0，

π

2

)，
所以2α∈（0，π），
由已知cos2α=

4

5

，
所以sin2α=

1-cos22α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
由5sin（2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ，
所以5(

3

5

cosβ+

4

5

sinβ)=sinβ，即3cosβ=-3sinβ，
所以tanβ=-1，
因?yàn)?span mathtag="math" >β∈(

π

2

，π)，
所以β=

3π

4

．