Question

三人獨立破譯同一份密碼．已知三人各自破譯出密碼的概率分別為，且他們是否破譯出密碼互不影響．
（Ⅰ）求恰有二人破譯出密碼的概率；
（Ⅱ）“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，記“第i個人破譯出密碼”為事件A₁（i=1，2，3），分析可得三個事件的概率且三個事件相互獨立；
（Ⅰ）設“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則B包括彼此互斥的A₁•A₂••A₁••A₃+•A₂•A₃，由互斥事件的概率公式與獨立事件的乘法公式計算可得答案；
（Ⅱ）設“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D，則D=••，由獨立事件的乘法公式計算可得D的概率，再由對立事件的概率公式可得C的概率，比較可得答案．
解答：解：記“第i個人破譯出密碼”為事件A₁（i=1，2，3），
依題意有，
且A₁，A₂，A₃相互獨立．

（Ⅰ）設“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有
B=A₁•A₂••A₁••A₃+•A₂•A₃，
且A₁•A₂•，A₁••A₃，•A₂•A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁•A₂•）+P（A₁••A₃）+P（•A₂•A₃）
=
=．
答：恰好二人破譯出密碼的概率為．

（Ⅱ）設“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D．
D=••，且，，互相獨立，則有
P（D）=P（）•P（）•P（）==．
而P（C）=1-P（D）=，
故P（C）＞P（D）．
答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大．
點評：本題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題、解決問題的能力，難點在于對于恰有二人破譯出密碼的事件分類不清．