Question

（2012•閘北區二模）設函數f（x）的圖象關于y軸對稱，又已知f（x）在（0，+∞）上為減函數，且f（1）=0，則不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集為（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（1，+∞）

C．（-∞，-1）∪（0，1）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由函數圖象關于y軸對稱，得到函數為偶函數，再由f（x）在（0，+∞）上為減函數，得到在（-∞，0）上為增函數，且f（-1）=f（1）=0，然后分當x∈（-∞，-1）時；當x∈（-1，0）時；當x∈（0，1）時；當x∈（1，+∞）時，分別根據增減性判斷出f（x）的正負，進而確定出

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

的正負，即可得到不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集．

解答：解：∵函數f（x）圖象關于y軸對稱，且f（x）在（0，+∞）上為減函數，
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數，且為偶函數，又f（1）=0，
∴f（-1）=f（1）=0，
當x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＞0；
當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＜0；
當x∈（0，1）時，f（x）＞0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＞0；
當x∈（1，+∞）時，f（x）＜0，可得

f(-x)+f(x)

x

=

2f(x)

x

＜0，
則不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集為：（-1，0）∪（1，+∞）．
故選B

點評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：偶函數的性質，函數的增減性，利用了轉化及分類討論的思想，是一道高考中常考的題型．