Question

過橢圓的右焦點F作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于A、B兩點，且坐標原點O到直線l的距離d滿足：
（I）證明點A和點B分別在第一、三象限；
（II）若的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設直線方程為y=k（x-2），由及k＞0，可知設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B坐標是方程組的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，再由根與系數的關系可以判斷出A、B分別在第一、三象限．
（II）由，能夠推導出k的取值范圍．
解答：解：（I）由已知，，直線方程為y=k（x-2），由及k＞0，得，解這個不等式，得
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B坐標是方程組的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，則，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=，
∵，
不妨設x₁＜0，則x₂＞0，此時y₁=k（x₁-2）＜0，于是y₂＞0，
A、B分別在第一、三象限．
（II）由，
注意到所以k的取值范圍是
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．