Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AF=CF，求證：AC⊥平面BEF；
（2）已知G、H分別是EC和FB的中點，求證：GH∥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF∥DB，∴EF與DB確定平面BDEF．

如圖①，連結DF．∵AF=CF，D是AC的中點，∴DF⊥AC．同理可得BD⊥AC．

又BD∩DF=D，BD、DF平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，即AC⊥平面BEF．

（2）證明：如圖②，設FC的中點為I，連接GI，HI．

在△CEF中，∵G分別是EC的中點，∴GI∥EF．

又EF∥DB，∴GI∥DB．

在△CFB中，∵H分別是FB的中點，∴HI∥BC．

又HI∩GI=I，∴平面GHI∥平面ABC．

∵GH平面GHI，∴GH∥平面ABC．

【解析】（1）如圖連結DF，證明DF⊥AC，BD⊥AC．推出AC⊥平面BDEF，即可證明AC⊥平面BEF．（2）設FC的中點為I，連接GI，HI．證明GI∥EF．GI∥DB．證明HI∥BC．即可證明GHI∥平面ABC．然后證明GH∥平面ABC．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．