Question

某學校為高二年級開展第二外語選修課，要求每位同學最多可以選報兩門課程．已知有75%的同學選報法語課，有60%的同學選報日語課．假設每個人對課程的選報是相互獨立的，且各人的選報相互之間沒有影響．
（1）任選1名同學，求其選報過第二外語的概率；
（2）理科：任選3名同學，記ξ為3人中選報過第二外語的人數，求ξ的分布列、期望和方差．
文科：任選3名同學，求3人中恰有1人選報過第二外語的概率．

Answer 1

解：設事件A：選報法語課；事件B：選報日語課．
由題設知，事件A與B相互獨立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）解法一：任選1名同學，
該人一門課程均沒選報的概率是
所以該人選報過第二外語的概率是P₂=1-P₁=1-0.1=0.9．…（6分）
解法二：任選1名同學，該人只選報一門課程的概率是
該人選報兩門課程的概率是P₄=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．
所以該人選報過第二外語的
概率是P₅=P₃+P₄=0.45+0.45=0.9…（6分）
（2）【理科】因為每個人的選報是相互獨立的，
所以3人中選報過第二外語的人數ξ服從二項分布B（3，0.9），
P（ξ=k）=C₃^k×0.9^k×0.1^3-k，k=0，1，2，3，
即ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

…（9分）ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
（或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7）…（11分）
ξ的方差是Dξ=3×0.98×（1-0.98）=0.0588…（12分）
【文科】3人中有1人選報過第二外語的概率為C₃¹×0.9¹×0.1²=0.027------（12分）
分析：設事件A：選報法語課；事件B：選報日語課．由題設知，事件A與B相互獨立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）法一：任選1名同學，該人一門課程均沒選報的概率是，由此能求出該人選報過第二外語的概率．
法二：任選1名同學，該人只選報一門課程的概率是
該人選報兩門課程的概率是P₄=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．由此能求出該人選報過第二外語的概率．
（2）【理科】因為每個人的選報是相互獨立的，所以3人中選報過第二外語的人數ξ服從二項分布B（3，0.9），P（ξ=k）=C₃^k×0.9^k×0.1^3-k，k=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ及ξ的方差是Dξ．
【文科】3人中有1人選報過第二外語的概率為C₃¹×0.9¹×0.1²=0.027．
點評：本題考查概率的求法，考查離散型分布列的求法和數學期望的計算，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布知識的靈活運用．