Question

某學(xué)校為高二年級(jí)開(kāi)展第二外語(yǔ)選修課，要求每位同學(xué)最多可以選報(bào)兩門(mén)課程．已知有75%的同學(xué)選報(bào)法語(yǔ)課，有60%的同學(xué)選報(bào)日語(yǔ)課．假設(shè)每個(gè)人對(duì)課程的選報(bào)是相互獨(dú)立的，且各人的選報(bào)相互之間沒(méi)有影響．
（1）任選1名同學(xué)，求其選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率；
（2）理科：任選3名同學(xué)，記ξ為3人中選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的人數(shù)，求ξ的分布列、期望和方差．
文科：任選3名同學(xué)，求3人中恰有1人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率．

Answer 1

分析：設(shè)事件A：選報(bào)法語(yǔ)課；事件B：選報(bào)日語(yǔ)課．由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）法一：任選1名同學(xué)，該人一門(mén)課程均沒(méi)選報(bào)的概率是P1=P(

.

A

•

.

B

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)=0.4×0.25=0.1，由此能求出該人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率．
法二：任選1名同學(xué)，該人只選報(bào)一門(mén)課程的概率是P3=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45
該人選報(bào)兩門(mén)課程的概率是P₄=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．由此能求出該人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率．
（2）【理科】因?yàn)槊總�(gè)人的選報(bào)是相互獨(dú)立的，所以3人中選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.9），P（ξ=k）=C₃^k×0.9^k×0.1^3-k，k=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ及ξ的方差是Dξ．
【文科】3人中有1人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率為C₃¹×0.9¹×0.1²=0.027．

解答：解：設(shè)事件A：選報(bào)法語(yǔ)課；事件B：選報(bào)日語(yǔ)課．
由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）解法一：任選1名同學(xué)，
該人一門(mén)課程均沒(méi)選報(bào)的概率是P1=P(

.

A

•

.

B

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)=0.4×0.25=0.1
所以該人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率是P₂=1-P₁=1-0.1=0.9．…（6分）
解法二：任選1名同學(xué)，該人只選報(bào)一門(mén)課程的概率是P3=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45
該人選報(bào)兩門(mén)課程的概率是P₄=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．
所以該人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的
概率是P₅=P₃+P₄=0.45+0.45=0.9…（6分）
（2）【理科】因?yàn)槊總�(gè)人的選報(bào)是相互獨(dú)立的，
所以3人中選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.9），
P（ξ=k）=C₃^k×0.9^k×0.1^3-k，k=0，1，2，3，
即ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

…（9分）ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
（或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7）…（11分）
ξ的方差是Dξ=3×0.98×（1-0.98）=0.0588…（12分）
【文科】3人中有1人選報(bào)過(guò)第二外語(yǔ)的概率為C₃¹×0.9¹×0.1²=0.027------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型分布列的求法和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布知識(shí)的靈活運(yùn)用．