Question

已知半徑為5的圓經過點（-3，3），且圓心在x軸的正半軸上．
（1）求圓的方程；
（2）若直線ax-y+5=0（a＞0）與圓相交，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設圓心M的坐標為（m，0）（m＞0），由徑為5的圓經過點（-3，3），列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出圓C的方程；
（2）由直線ax-y+5=0，表示出y，代入圓的方程消去y，得到關于x的一元二次方程，根據直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）設圓心為M（m，0）（m＞0），
∵半徑為5的圓經過點（-3，3），
∴（m+3）²+9=25，
∴m=1，
∴所求圓的方程為（x-1）²+y²=25；
（2）直線ax-y+5=0即y=ax+5，代入圓的方程，消去y整理得：
（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
∵直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
∴△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，即12a²-5a＞0，
解得：a＜0或a＞

5

12

，
則實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（

5

12

，+∞）．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，一元二次方程根的判別式與解的關系，一元二次不等式的解法，解題的關鍵是：當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；將直線與圓的方程聯立消去y后，得到關于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的個數決定了直線與圓交點的個數．