Question

10．如圖，四棱錐E-ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，點F為DE的中點．
（ 1 ）求證：CF∥平面EAB；
（2）若CF⊥AD，求平面ECD與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AE的中點G，連接GF，GB，推導出四邊形CFGB為平行四邊形，從而CF∥BG．由此能證明CF∥平面EAB．
（2）以A為坐標原點，分別以AB，AD，AE為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ECD與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AE的中點G，連接GF，GB．
∵點F為DE的中點，∴GF∥AD，且GF=$\frac{1}{2}$AD，
又AD∥BC，AD=2BC，∴GF∥BC，且GF=BC，
∴四邊形CFGB為平行四邊形，∴CF∥BG．
∵CF?平面EAB，BG?平面EAB，
∴CF∥平面EAB．（5分）
解：（2）∵CF⊥AD，∴AD⊥BG，而AB⊥AD，
∴AD⊥平面EAB，∴AD⊥EA．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，∴EA⊥平面ABCD，（7分）
以A為坐標原點，分別以AB，AD，AE為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1）．
設(shè)平面BCF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{CF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=-x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．（9分）
設(shè)平面CDF的法向量為$\overrightarrow{m}$，同理可求得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），（11分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面ECD與平面BCF所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．