Question

2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于

 

．

Answer 1

分析：根據兩正方形的面積分別求出兩正方形的邊長，根據小正方形的邊長等于直角三角形的長直角邊減去短直角邊，利用三角函數的定義表示出5cosθ-5sinθ=1，兩邊平方并利用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡可得sin2θ的值，然后根據θ的范圍求出2θ的范圍即可判斷出cos2θ的正負，利用同角三角函數間的基本關系由sin2θ即可求出cos2θ的值．

解答：解：∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，
∴大正方形邊長為5，小正方形的邊長為1．
∴5cosθ-5sinθ=1，
∴cosθ-sinθ=

1

5

．
∴兩邊平方得：1-sin2θ=

1

25

，
∴sin2θ=

24

25

．
∵θ是直角三角形中較小的銳角，
∴0＜θ＜

π

4

，0＜2θ＜

π

2

．
∴cos2θ=

1-sin22θ

=

7

25

．
故答案為：

7

25

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．本題的突破點是將已知的兩等式兩邊平方．