Question

已知A(4，-3)、B(2，-1)和直線l:4x＋3y-2=0，求一點P，使|PA|=?|PB|?，且點P到直線l的距離等于2.

Answer 1

【探究】  由題，P點滿足的兩個條件，即|PA|=|PB|和到直線l的距離為2，于是可設P點坐標(x,y)，將上述兩個條件變為關于x、y的方程組，求出解即得問題結果，也可利用P點在AB的中垂線上，利用中垂線方程和到l的距離求解.

解法一：設點P(x，y)，|PA|=|PB|，

所以.         ①

點P到直線l的距離等于2，所以.      ②

由①②得P(1，-4)或().

解法二：設點P(x，y)，|PA|=|PB|，所以點P在線段AB的垂直平分線上，AB垂直平分線的方程是y=x-5，所以設點P(x，x-5).

點P到直線l的距離等于2，所以.

由上式得到x=1或，所以P(1，-4)或().

【規律總結】 解析幾何的主要方法就是利用點的坐標反映圖形的位置，所以只要將題目中的幾何條件用坐標表示出來，即可轉化為方程的問題.

    相比較而言，解法二比解法一更方便，其計算量稍小，這是利用了點P的幾何特征產生的結果，所以解題時注意多發現、多思考.